พลวัตรแบบลอเรนซ์ (Lorenz Dynamics) กับทฤษฎีไร้ระเบียบ (Chaos Theory)

บทนำ

นักวิทยาศาสตร์และวิศวกรสามารถอธิบายปรากฏการณ์ต่าง ๆ รอบตัวเรา ทั้งที่เป็นไปโดยธรรมชาติและสิ่งที่มนุษย์สร้างขึ้นด้วยสมการทางคณิตศาสตร์ เพื่อช่วยในการศึกษาทำความเข้าใจปรากฏการณ์นั้นๆ หรือเพื่อควบคุมปรากฏการณ์ต่างๆ ให้เป็นไปตามที่ต้องการ เพื่อนำมาใช้ให้เป็นประโยชน์ การอธิบายปรากฏการณ์ต่างๆ ในเชิงคณิตศาสตร์นั้นเรียกว่าการจำลองทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Modeling) โดยมักใช้สมการเชิงอนุพันธ์ (Differential Equations) ซึ่งสามารถใช้ได้กับปรากฏการณ์หลายประเภทไม่จำกัดสาขาวิชา เช่น ปรากฏการณ์ทางกลศาสตร์ ปฏิกิริยาเคมี และวงจรไฟฟ้า เป็นต้น

ทฤษฎีระบบ (System Theory)

เป็นอีกแขนงวิชาหนึ่งที่ใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในการศึกษาและควบคุมระบบ (หรือปรากฏการณ์) ต่างๆ โดยแบ่งระบบออกเป็นระบบเชิงเส้น (Linear Systems) และระบบไม่เชิงเส้น (Nonlinear Systems) ซึ่งก่อนที่จะกล่าวถึงรายละเอียดและข้อแตกต่างของระบบทั้งสองแบบ ผู้เขียนจะกล่าวถึงพื้นฐานในการวิเคราะห์ระบบเบื้องต้นก่อน

คุณสมบัติ (Characteristics) หลักของระบบที่นักวิเคราะห์ระบบหรือวิศวกรระบบต้องการศึกษา คือจุดสมดุล (Equilibrium Points) และ เสถียรภาพ (Stability) ของระบบนั้นๆ จุดสมดุล คือจุด (หรือสถานะ – States) ที่ระบบหยุดนิ่งหรือไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ ตัวอย่างเช่น จุดสมดุลในระบบของก้อนน้ำหนักที่ห้อยติดอยู่กับสปริง ก็คือจุดที่ก้อนน้ำหนักนั้นดึงให้สปริงยืดจนแรงดึงของสปริงสมดุลกับแรงโน้มถ่วงที่ดึงก้อนน้ำหนักอยู่ ลักษณะหลักอีกอย่างหนึ่งของระบบก็คือเสถียรภาพของระบบ หรือถ้าจะให้เฉพาะเจาะจงลงไปก็คือเสถียรภาพของจุดสมดุลในระบบ จุดสมดุลของระบบจะเป็นจุดสมดุลที่เสถียร (Stable) ก็ต่อเมื่อจุดสมดุลนั้นดึงดูดสถานะที่อยู่ใกล้เคียงในระบบนั้น และจุดสมดุลจะไม่เสถียรถ้าสถานะที่อยู่ใกล้เคียงถูกผลักออกดังนั้นจุดสมดุลในตัวอย่างของระบบก้อนน้ำหนักที่ผูกอยู่กับสปริงจึงเป็นจุดสมดุลที่เสถียร เนื่องจากก้อนน้ำหนักจะถูกดึงกลับไปที่จุดสมดุลเมื่อถูกขยับออกจากจุดสมดุลนั้น

ข้อแตกต่างที่สำคัญระหว่างระบบเชิงเส้นกับระบบไม่เชิงเส้นคือ การรวมกันแบบ Superposition ไม่สามารถกระทำได้ในระบบไม่เชิงเส้น ระบบเชิงเส้นจะมีจุดสมดุลต่อเนื่องกันเพียงจุดเดียว (อาจมีหลายจุดได้ในกรณีที่ค่าเจาะจง – Eigenvalues เป็นศูนย์ แต่ทุกจุดจะต่อเนื่องกันเป็นเส้น) ส่วนระบบไม่เชิงเส้นสามารถมีจุดสมดุลที่ไม่ต่อเนื่องกัน (isolated equilibrium points) มากกว่าหนึ่งจุด นอกจากนั้นแล้ว ระบบไม่เชิงเส้นยังแสดงลักษณะพิเศษอื่นๆ ที่ไม่พบในระบบเชิงเส้น เช่น การเข้าสู่อนันต์ในเวลาจำกัด (Finite Escape Time) วงรอบจำกัด (Limit Cycles) และความไร้ระเบียบ (Chaos) เป็นต้น

ตัวอย่างของพลวัต (Dynamics) ของระบบไม่เชิงเส้น (หรือเรียกว่า พลวัตไม่เชิงเส้น – Nonlinear Dynamics) ได้แก่ ลูกตุ้ม Pendulum จะเห็นได้ว่าระบบของลูกตุ้ม pendulum มีจุดสมดุลอยู่ ๒ จุดคือ จุดที่ลูกตุ้มอยู่ในแนวดิ่งตั้งขึ้นและในแนวดิ่งลง โดยจุดสมดุลในแนวดิ่งตั้งขึ้นเป็นจุดสมดุลที่ไม่เสถียร (ลูกตุ้มที่ตั้งขึ้นในแนวดิ่งสมบูรณ์จะคงอยู่ที่จุดนั้น แต่จะแกว่งออกจากตำแหน่งเดิมถ้าถูกรบกวน) และจุดสมดุลในแนวดิ่งลงเป็นจุดสมดุลที่เสถียร

พลวัตแบบลอเรนซ์

พลวัตแบบลอเรนซ์ (Lorenz Dynamics) จัดเป็นพลวัตไม่เชิงเส้นอีกแบบหนึ่งที่มีลักษณะพิเศษเฉพาะที่น่าสนใจ พลวัตแบบลอเรนซ์ถูกค้นพบโดยนักอุตุนิยมวิทยาชื่อ Ed Lorenz ในปี ค.ศ.๑๙๖๓ ขณะกำลังศึกษาแบบจำลองสำหรับระบบ อุตุนิยมวิทยา (Meteorology) เพื่อพยากรณ์สภาวะอากาศจากการทราบเงื่อนไขเริ่มต้น เช่น ความเร็วลม อุณหภูมิ และความกดอากาศ แบบจำลองของลอเรนซ์ประกอบด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ที่เกี่ยวเนื่องกัน (coupled differential equations) ๑๒ สมการ โดยทำการคำนวณแบบทำซ้ำ (iteration) ด้วยเครื่องคอมพิวเตอร์ ลอเรนซ์พบว่าเมื่อเขาต้องการจะคำนวณสภาวะอากาศซ้ำเป็นครั้งที่สองโดยใช้ค่าเริ่มต้นจากผลที่ได้จากช่วงต้นของการคำนวณครั้งแรก ผลที่ได้รับกลับแตกต่างกันอย่างสิ้นเชิงหลังจากที่ทำการคำนวณไปได้ระยะหนึ่ง ลอเรนซ์สงสัยว่าผลที่แตกต่างกันระหว่างการคำนวณสองครั้งเกิดจากความผิดพลาดของเครื่องคอมพิวเตอร์ (ในยุคนั้นเครื่องคอมพิวเตอร์ยังใหม่ มีขนาดใหญ่เทอะทะ และเป็นสิ่งลึกลับสำหรับหลายคน) แต่หลังจากที่ตรวจสอบและทดลองใหม่อยู่หลายครั้ง ลอเรนซ์ก็ได้ข้อสรุปว่าผลที่ได้ออกมาต่างกันอย่างสิ้นเชิงนั้น เกิดจากความคลาดเคลื่อนในการใส่ค่าเริ่มต้นเพียงเล็กน้อยในระดับของจุดทศนิยมที่ไม่น่าจะเป็นเหตุของผลลัพธ์ที่ต่างกันมาก

ลักษณะเด่นของพลวัตแบบลอเรนซ์คือการแกว่งแบบไม่เป็นคาบ (non-periodic oscillation) และความไวต่อค่าเริ่มต้น (sensitive dependence on initial conditions) การที่ผลการคำนวณสภาวะอากาศสองครั้งของลอเรนซ์ออกมาแตกต่างกันมากจากค่าเริ่มต้นที่ต่างกันเพียงเล็กน้อย แสดงถึงความไวต่อค่าเริ่มต้นของระบบ นอกจากสภาวะอากาศแล้ว นักวิทยาศาสตร์ วิศวกร และนักคณิตศาสตร์รุ่นหลังยังใช้พลวัตแบบลอเรนซ์เพื่อศึกษาระบบอื่นๆ เช่น เลเซอร์พลศาสตร์ (laser dynamics) และการเคลื่อนตัวของโมเลกุลในปฏิกิริยาเคมี

การทดลองกังหันน้ำ

01

อีกตัวอย่างหนึ่งของพลวัตแบบลอเรนซ์ที่เป็นที่รู้จักกันดีสำหรับผู้ที่ศึกษาพลวัตไม่เชิงเส้น ก็คือกังหันน้ำที่ปล่อยน้ำลงตรงกลางและเจาะรูให้น้ำรั่วออกมาได้ การทดลองกังหันน้ำแบบนี้คิดค้นขึ้นโดยมาลคัส และโฮวาร์ด (Willem Malkus and Lou Howard) จากสถาบันเทคโนโลยีแห่งแมสซาชูเซตส์ (Massachusetts Institute of Technology) รูปที่ ๑ แสดงแบบของการทดลองกังหันน้ำ [๑] และ ผู้เขียนได้สร้างกังหันน้ำคล้ายแบบของมาลคัสและโฮวาร์ด [๒] เพื่อประกอบโครงงานในวิชาพลศาสตร์ไม่เชิงเส้น ในรูปที่ ๒

02

สมการลอเรนซ์ในระบบกังหันน้ำสามารถหาได้จากกฎการอนุรักษ์มวล (conservation of mass) และผลรวมแรงบิด (torque balance) [๑], [๒] จากกฎการอนุรักษ์มวลจะได้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (partial differential equation):

e01(๑)

โดยที่ตัวแปร Q, K, ω และ θ คืออัตราน้ำไหลเข้า อัตราน้ำไหลออก ความเร็วเชิงมุมของกังหัน และมุมเอียงของกังหันตามลำดับ ส่วน m คือการกระจายมวลของน้ำในกังหันซึ่งเป็นฟังก์ชั่นของมุมเอียงของกังหัน θ และเวลา t อีกสมการหนึ่งได้จากผลรวมแรงบิด:

e02(๒)

โดยที่ I, -vw และ r คือ โมเมนต์เฉื่อยคงที่ (steady-state moments of inertia) ของกังหัน แรงบิดฝืด (damping torque) และรัศมีของกังหันตามลำดับ ส่วนพจน์อินติเกรต คือแรงบิดที่เกิดจากแรงโน้มถ่วง (gravitational torque) สมการ (๑) และ (๒) จากการอนุรักษ์มวลและผลรวมแรงบิดสามารถกระจายให้อยู่ในรูปของอนุกรมฟูเรียร์ (Fourier series expansion) ได้ :

e03(๓)

e04(๔)

อัตราน้ำไหลเข้าไม่มีพจน์ของ sine ในอนุกรมเนื่องจากตำแหน่งน้ำที่ไหลเข้าสมมาตรอยู่ที่กึ่งกลางของกังหัน เมื่อแทนค่า m และ Q จาก (๓) และ (๔) ลงในสมการ (๑) และ (๒) จะได้:

e05(๕)

e06(๖)

e07(๗)

เนื่องจากสมการ (๗) มีเพียงพจน์ n = 1 ของอนุกรมฟูเรียร์ จึงสามารถเขียนแยกพจน์ n = 1 ของสมการ (๕), (๖) และ (๗) ได้เป็น:

e08(๘)

สมการ (๘) ทั้งสามสมการสามารถจัดอยู่ในรูปสมการลอเรนซ์มาตรฐาน [๒] ได้:

e09(๙)

โดยที่ x, y และ z คือสถานะ (states) ของระบบ ส่วน r, b และ σ คือตัวแปร (parameters) ของระบบ

ความไร้ระเบียบ (chaos) ในพลวัตแบบลอเรนซ์

จุดสมดุลของพลวัตแบบลอเรนซ์สามารถหาได้จากสมการลอเรนซ์ (๙) โดยแทนค่าอนุพันธ์ของ x, y และ z ด้วยศูนย์ ได้ดังนี้

e10(๑๐)

เมื่อ r < 1 จุดสมดุลของระบบมีเพียงจุดเดียวที่ (0,0,0) และเป็นจุดสมดุลที่เสถียร ซึ่งหมายความว่าสถานะของระบบจะกลับเข้าสู่จุดกำเนิด (origin) โดยธรรมชาติ อย่างไรก็ดี จุดสมดุลจะเพิ่มเป็นสามจุดเมื่อ r > 1 และทั้งสามจุดจะไม่เสถียรเมื่อ r > rH โดยที่

e11(๑๑)

ถึงแม้ว่าจุดสมดุลทั้งสามจุดจะไม่เสถียรในกรณี r > rH พลวัตลอเรนซ์โดยรวมก็ไม่เข้าสู่อนันต์ แต่สถานะของระบบกลับมีการเปลี่ยนแปลงภายในขอบเขตจำกัด (bounded trajectory) ในลักษณะของการแกว่งแบบไม่เป็นคาบ (non-periodic oscillation) นอกจากนั้น พลวัตของระบบยังแสดงความไวต่อค่าเริ่มต้น ตามที่ลอเรนซ์พบในแบบจำลองสภาวะอากาศที่เขาสร้างขึ้นในปี ค.ศ.๑๙๖๓ ลักษณะโดยรวมของระบบถึงแม้จะสามารถอธิบายได้ด้วยสมการคณิตศาสตร์ แต่ผลลัพธ์กลับไม่สามารถทำนายล่วงหน้าได้ เนื่องจากความคลาดเคลื่อนเพียงเล็กน้อยในการวัดค่าเริ่มต้น จะส่งผลให้สถานะของระบบแตกต่างกันอย่างสิ้นเชิงในที่สุด

อันที่จริงมีผู้ค้นพบลักษณะของความไวต่อค่าเริ่มต้นก่อนหน้าการค้นพบของลอเรนซ์ โดยในคริสต์ศตวรรษที่ ๑๙ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส เฮนรี่ พอยน์คาเร (Henri Poincaré) พบว่าผลการคำนวณการโคจรของวัตถุท้องฟ้าสามดวง (three celestial bodies) โดยใช้สมการของนิวตันนั้นไม่สามารถแสดงออกมาในรูปสมการต่อเนื่อง (closed-form solution) ได้ นอกจากนั้นแล้ว เส้นทางการโคจรที่คำนวณได้ออกมาแตกต่างกันอย่างสิ้นเชิงเมื่อค่าเริ่มต้นของการโคจรเปลี่ยนไปเพียงเล็กน้อย อย่างไรก็ดี นักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ในสมัยนั้นไม่ให้ความสนใจกับการค้นพบของพอยนคาเร เนื่องจากขั้นตอนการคำนวณที่ ซับซ้อนเกินกว่าที่จะทำได้โดยไม่ใช้เครื่องคอมพิวเตอร์ (ซึ่งยังต้องรอไปอีกเกือบ ๑๐๐ ปี)

นอกจากการคำนวณที่ซับซ้อนแล้ว นักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ในสมัยนั้นยังมีเหตุผลอื่นที่ไม่ให้ความสนใจกับการค้นพบของพอยน์คาเร นับตั้งแต่ก่อนการค้นพบสมการของนิวตันนักวิทยาศาสตร์และนักคณิตศาสตร์เชื่อว่าทุกสิ่งทุกอย่างในจักรวาลสามารถอธิบายได้ด้วยสมการทางคณิตศาสตร์ และถ้าทั้งจักรวาลถูกกำหนดไว้ด้วยกฎของวิทยาศาสตร์และสมการคณิตศาสตร์แล้ว มนุษย์ย่อมสามารถทำนายปรากฏการณ์ต่างๆ ล่วงหน้าได้ โดยการทราบค่าเริ่มต้นของปรากฏการณ์นั้นๆ และความคลาดเคลื่อนในค่าเริ่มต้นเพียงเล็กน้อยจะส่งผลถึงผลการทำนายล่วงหน้าที่คลาดเคลื่อนเพียงเล็กน้อยเท่านั้นด้วย (ซึ่งเป็นจริงในกรณีของปรากฏการณ์เชิงเส้น) การค้นพบของพอยน์คาเรแสดงให้เห็นว่าความคลาดเคลื่อนแม้เพียงเล็กน้อย จะทำให้การทำนายล่วงหน้าผิดพลาดไปอย่างสิ้นเชิง ซึ่งหมายความว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะทำนายปรากฏการณ์ที่มีความไวต่อค่าเริ่มต้นล่วงหน้าได้

ปรากฏการณ์ความไวต่อค่าเริ่มต้น (sensitive dependence on initial conditions) ถูกละเลยมาจนถึงกลางคริสต์ศตวรรษที่ ๒๐ เมื่อเริ่มมีการใช้เครื่องคอมพิวเตอร์ หลังจากการค้นพบของลอเรนซ์ ได้มีนักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์จำนวนมากที่เริ่มหันมาสนใจศึกษาปรากฏการณ์นี้อย่างจริงจัง และในกลางทศวรรษที่ ๗๐ นักฟิสิกส์ เจมส์ ยอร์ค (James Yorke) ชาวอเมริกันได้ตั้งชื่อปรากฏการณ์นี้ว่า “เคออส” (Chaos) ซึ่งเป็นชื่อที่ใช้แพร่หลายมาจนปัจจุบัน

ผลการทดลองกังหันน้ำ

เซนเซอร์วัดความเร็ว (optical encoder) ใช้ร่วมกับเครื่องคอมพิวเตอร์เพื่อวัด และบันทึกความเร็วในการหมุนของตัวกังหันน้ำ โดยที่อัตราน้ำไหลเข้าในกังหันสามารถปรับได้ด้วยลิ้นเปิด – ปิด เพื่อปรับแต่งคุณลักษณะภายในของระบบ เมื่อน้ำถูกปล่อยให้ไหลเข้าในอัตราที่สูงความเร็วการหมุนของกังหันจะเปลี่ยนแปลงในลักษณะของการแกว่งแบบคงที่ (steady-state oscillation) ในรูปที่ ๓ และความเร็วการหมุนของกังหันน้ำจะเปลี่ยนเป็นลักษณะของการแกว่งแบบไม่เป็นคาบและความไร้ระเบียบ เมื่ออัตราการไหลเข้าของน้ำลดลง ในรูปที่ ๔

0304

รูปที่ ๓ และรูปที่ ๔ แสดงการเปลี่ยนแปลงของระบบจากจากการแกว่งแบบคงที่ (1 < r < rH) ไปสู่เคออส (r > rH) การแกว่งในรูปที่ ๓ มีขนาด (amplitude) ไม่คงที่ เนื่องจากแรงเสียดทานของแกนหมุน และความคลาดเคลื่อนในการสร้างตัวกังหัน

ลักษณะความไวต่อค่าเริ่มต้นสามารถสังเกตได้ จากกราฟบันทึกความเร็วการหมุนของกังหันในรูปที่ ๕ เมื่อตำแหน่งเริ่มต้นการหมุนของกังหันน้ำเปลี่ยนไปเล็กน้อย กราฟความเร็วการหมุนของกังหันทั้งสองครั้งไม่มีความคล้ายคลึงกันเลย

05

สรุป

นอกจากพลวัตแบบลอเรนซ์แล้ว ปรากฏการณ์ไร้ระเบียบยังพบในพลวัตไม่เชิงเส้นอื่นๆ อีก เช่น แฟรคตัล (fractal geometry) และการไหลแบบเทอร์บูเลนท์ (turbulent flow) พลวัตเหล่านี้ถูกกำหนดด้วยกฎเกณฑ์ทางวิทยาศาสตร์ และสามารถอธิบายได้ด้วยสมการคณิตศาสตร์ ปรากฏการณ์ไร้ระเบียบจึงไม่ใช่ความยุ่งเหยิงหรือไม่แน่นอนเหมือนอย่างที่หลายคนเข้าใจ (โดยเฉพาะเมื่อแปลจากชื่อ “chaos”) แต่เป็นการเปลี่ยนแปลงที่ซับซ้อนภายใต้กฎเกณฑ์แน่นอนแต่ไม่อาจทำนายล่วงหน้าได้อันเนื่องมาจากความไวต่อค่าเริ่มต้นของระบบ

เอกสารอ้างอิง

[1] S. H. Strogatz. “Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering.” Addison Wesley, 1994.

[2] J. V. Medanic. “Constructive Design Methods in Linear and Nonlinear Control.” Lecture Notes, University of Illinois at Urbana-Champaign, 2000.

[3] H. K. Kalil. “Nonlinear Systems.” Prentice Hall, 1996.

[4] S. Bunchongchuitr. “Strange Attractors: The Waterwheel Experiment.” Project, University of Illinois at Urbana-Champaign, 2001.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s